MOMENTUM SUDUT DAN  ROTASI BENDA TEGAR

 

Gerbang

Pernahkah Kamu  melihat  permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Kamu melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.

Gambar: Katrol

              

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.              

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).

                                    t = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

			Gambar: Skema permainan jungkat jungkit

 

 

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F₁ adalah t₁ = + F₁ . d₁

Momen gaya oleh F₂ adalah t₂ = - F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

 ∑ t = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

      ∑ t             = 0

- F₂ . d₂  + F₁ . d₁            = 0

                 F₁ . d₁            = F₂ . d₂

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi		Rotasi
Momentum linier	p = mv	Momentum sudut*	L = Iw
Gaya	F = dp/dt	Torsi	t = dL/dt
Benda massa Konstan	F = m(dv/dt)	Benda momen inersia konstan*	t = I (dw/dt)
Gaya tegak lurus terhadap momentum	F = w x p	Torsi tegak lurus momentum sudut	t = W ´ L
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Energi kinetik	Ek = ½ Iw2
Daya	P = F . v	Daya	P = t . w

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep	Translasi	Rotasi	Catatan
Perubahan sudut	s	q	s = r.q
Kecepatan	v = ds/dt	w = dq/dt	v = r.w
Percepatan	a = dv/dt	a = dw/dt	a = r.a
Gaya resultan, momen	F	t	t = F.r
Keseimbangan	F = 0	t = 0
Percepatan konstan	v = v0 + at	w = w0 + at
	s = v0t = ½ at2	q = w0t + ½at2
	v2 = + 2as	w2 = + 2aq
Massa, momen kelembaman	m	I	I = åmiri2
Hukum kedua Newton	F = ma	t = Ia
Usaha	W = ò F ds	W = ò t dq
Daya	P = F.v	P = I w
Energi potensial	Ep = mgy
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Ek = ½ Iw2
Impuls	ò F dt	ò t dt
Momentum	P = mv	L = Iw

 Momen Inersia Rotasi Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut a yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi t didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

t = S F_i R_i Sin q_i         atau     t = ( S m_i R² _i ) ^. a

Sm_i R_i² disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I = S  m_i . R_i²

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I           =         

maka    t          =          I . a

t          =          I

Karena             t          =          SF . R              dan      t = I . a

maka                                        S F . R = I . a

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.

            a          =          a . R

            a          =         

persamaan menjadi :

                        S F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen
Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

 

I = ½ M (R₁² + R₂²)         I = 1/3 MR²                      I = MR²                               I = 2/5 MR²                        I = 2/3 MR²

Contoh:

Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:

sumbu AA¹,

sumbu BB¹!

Penyelesaian:

I = Σ m_i . R_i²

  = m₁ R₁² + m₂ . R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

  = 1 . 0² + 2 . 2² + 1 . 4² + 3 . 6²

  = 0 + 8 + 16 + 108

I = 132 kg m²

I = Σ m_i R_i²

  = m₁ R₁² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

  = 1 . 4² + 2 . 2² + 1 . 0² + 3 . 2²

  =   16   +    8    +    0     +   12

I = 36 kg m²

Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.

Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!

A

A’

Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan µ terhadap poros ini (µ = 4 )?

Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA¹!

Penyelesaian:

I = Σ m_i R_i² = m₁ R₁² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

            = 3 . 2² + 2 . 2² + 1 . 2² + 2 . 2²

            = 12 + 8 + 4 + 8

            = 32 kg m²

τ = I . µ = 32 . 4 = 128 N.m

I = m₂ R₁² + m₂ R₂² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄R₄²

Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing      5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui                                                            

pusat 0,                                                                            O    

salah satu bola!

L = 1 m

    

Penyelesaian:

I = Σ m_i R_i²

            I = m_A . R_A² +  m_B . R_B² + 1/12 m . L²

            I = 5 . (0,5)² + 5 . (0,5)² + 1/12 . 2 . 1²

            I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6

            I = 2,5 + 1/6

I = 5/2 + 1/6 =                = 16/6

            I = 8/3 kg m²

b.   I =  Σ m_i R_i²

            I = m_A.R_A² + M_b.R_B² + 1/3 .m.l²

            I = 0 + 5 . 1² + 1/3 . 2.1²

            I = 5 + 2/3

            I = 5  kg m²

C. Persamaan Lain Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut w, yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut w.

Sehingga dapat dirumuskan :

L   =   I . w

Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,

L  =  R  ´ P

atau     L  =  R  ´ mV

L  =  mR  ´ V

 

                                                         

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V         =          w   R

Sehingga         L          =          m   R   v

            L          =          m   R   wR      

            L          =          m   R²   w        

Arah L dam w adalah sama, maka:

            L          =          m   R²  w                                

atau     L          =          I    w

karena  w =

maka :  L          =          m R²

            L          =          I          

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L          =          R  ´  P  =  m  (R ´ v)

Bila diturunkan, menjadi:

           

           

           

           

karena t = F ´ R

maka t =

            Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total SL, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir SL’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

                       

momentum sudut total awal   =    momentul sudut total akhir

            SL       =          SL’

            L₁ + L₂                =          L₁’ + L₂’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.

            I₁ w₁ + I₂ w₂      =          I₁’ w₁’  + I₂’ w₂’

D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m₁ dan m₂ dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v₁ dan v₂, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m₁v₁². Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel  ke 2  adalah ½ m₂v₂² ) :

E_K          =          ½ m₁ v₁² + ½ m₂v₂²

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:

E_K          =          S ½ m_i v_i²

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut w, kecepatan tiap partikel adalah v_i = w . R_i , di mana R_i adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi      E_K          =             S ½ m_iv_i²

                        =          S  ½ m_i R_i² w²

                        =          ½ (S m_i R_i²) w²

            E_K          =          ½ I . w²

karena L          =          I . w

maka    E_K          =          ½ L . w

atau     E_K          =          ½   

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

E_K          =          ½  mv²  +  ½  I . w²

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:

E          =          E_K  +  E_P             =          konstan

½  mv²  +  ½  I w²  +  mgh      =          konstan

Contoh:

Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah      V =

dengan menggunakan hukum kekekalan energi,

dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!

Penyelesaian

Jawab:

                      v₁ = 0, w₁ = 0

                                                s

h

a.         Ek₁ + Ep₁ = Ek₂ + Ep₂

(½ m v₁² + ½ I w₁²) + mgh₁   =   ( ½  mv₂² + ½ I w₂²) + mgh₂

0       +        0      + mgh    = ½ mv² + ½ . ½ mR² (      )² + 0

     gh  = ½ v² + ¼. R² . v/r 

     gh  = ¾ v²

      v²   =   gh

                                     v  =     (terbukti)

hukum II dinamika rotasi

Σ F = m . a

m g .  - ½ m . a = m . a

=   a

a = .

v² = v_o² + 2 a s

v² = 0² + 2.      . s

v² = gh

v   =     (terbukti)

Menghitung Momen Inersia/Kelembaman Benda-benda Homogen

Batang homogen (panjang 1, massa m, penampang A)

Momen kelembaman terhadap sumbu melalui ujung batang  (O) tegak  lurus penampang batang.

 

Massa jenis batang

Kita ambil bagian kecil dx yang jaraknya x dari ujung O massa bagian itu:

dm       =          r.dV

dm       =          r A  dx

dm       =         

dm       =         

momen inersia batang :

I           =         

I           =         

I           =         

I           =         

I           =         

I           =          1/3   ml²

Momen kelembaman batang terhadap titik beratnya (z)

 

maka:   I           =         

            I           =         

            I           =         

            I           =         

            I           =          1/3

            I           =          1/3

            I           =          1/12   m  1²

Batang tipis (tanpa tebal) bentuk lingkaran (massa m)

Momen kelembamannya terhadap sumbu rotasi melalui pusat lingkaran tegak lurus bidang lingkaran.

 

Momen kelembaman terhadap garis tengah sebagai sumbu rotasi

 

Keping (plat) berbentuk lingkaran (massa m)

Momen kelembaman terhadap sumbu rotasi melalui pusat lingkaran tegak lurus keping.

 

Momen kelembaman terhadap garis tengah sebagai sumbu rotasi

 

Keping berbentuk segi empat

Keping tipis dengan panjang a dan lebar b, massa m sumbu x sejajar a dan sumbu y sejajar b.

 

Silinder pejal homogen

Momen kelembaman terhadap sumbu silinder sebagai sumbu rotasi:

I = ½  mR²

Silinder berongga homogen

Momen kelembaman terhadap sumbu silinder sebagai sumbu rotasi:

I = ½  m  ( R₁² + R₂² )

Bola pejal homogen

Momen kelembaman terhadap garis tengahnya sebagai sumbu rotasi:

R

I =  2/5  mR²

 

Contoh:

1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0

   O

         -1/4 l                 +3/4 l

Penyelesaian:

 I =                              ®        dm =  . dx

           

            I =                      =                              

                        I =                      

                        I =   .  . 

                        I =   .  .

I =   . ..l ³

I = m  ..l ²

I =  m .l ²

2. Tentukan momen inersia bola pejal!

Jawab:

massa bola m

volume bola V = 4/3 p R³

massa keping = dm

volume keping = dV = pr² dx

 

dm =  dV

dm =               

 

dm = ¾                               dx

d I = ½ r² dm

 

             =                               .  (R² - x²) dx

            I - 0 = 

            I      = 

            I      = 

            I      = 

            I      = 

            I      = 

            I      =  m.R²

3.         mencari momen kelembaban silinder pejal

                                                                                                  

massa = m

volume = V = p R² l

massa selubung = dm

volume selubung = dv = 2 p r l dr

dm =  dV

dm =  dr

dm =  dr

d I =  r² dm

d I =  r² .  dr

     = dr

I – 0 =              

I =               

I =

I = ½ m R²

F.  Katrol Tetap